τ0=τ2+τ2^3/(8α^2);
(Subscript[η0, a_])=(Subscript[η2, a])(1+3/8*τ2^2/α^2);
(Subscript[g0, a_ c_]) =τ0/τ2*((Subscript[g2, a c])+(Subscript[η2, a]) *(Subscript[η2, c])(1-3/8*τ2^2/α^2))-(Subscript[η0, a])*(Subscript[η0, c])//Expand;

τ0/τ2//Expand

τM:=τ0;
(Subscript[ηM, a_]):=(Subscript[η0, a])-1/2*(Subscript[A, a])*τ0;
(Subscript[gM, a_ c_]):=(Subscript[g0, a c])+(Subscript[A, a])*(Subscript[η0, c])*τ0+(Subscript[A, c])*(Subscript[η0, a])*τ0-1/2*(Subscript[A, a])*(Subscript[A, c])*τ0^2;
(Subscript[g, a_ b_]):=(Subscript[g2, a b]);

(Subscript[η0, a])*(Subscript[η0, b])//Expand

ord=-6;

N1=Series[4*(Subscript[ηM, a])*(Subscript[ηM, b])*(Subscript[ηM, c])*(Subscript[ηM, d])/(3*Pi^4*τM^8)//Expand,{τ2,0,ord}]//Normal

N2=Series[((Subscript[ηM, a])*(Subscript[gM, b c])*(Subscript[ηM, d])+(Subscript[ηM, b])*(Subscript[gM, a c])*(Subscript[ηM, d])+(Subscript[ηM, a])*(Subscript[gM, b d])*(Subscript[ηM, c])+(Subscript[ηM, b])*(Subscript[gM, a d])*(Subscript[ηM, c]))/(3*Pi^4*τM^8)//Expand,{τ2,0,ord}]//Normal//Expand

N3=Series[((Subscript[gM, a c])*(Subscript[gM, b d])+(Subscript[gM, b c])*(Subscript[gM, a d]))/(6*Pi^4*τM^8)//Expand,{τ2,0,ord}]//Normal//Expand

N4=Series[(Subscript[g, a b])(Subscript[g, c d])/(12*Pi^4*τ0^8),{τ2,0,ord}]//Normal//Expand

NK=N1+N2+N3-N4//Simplify//Expand

trule={(Subscript[η2, a]) (Subscript[η2, b]) (Subscript[η2, c]) (Subscript[η2, d])->T1,(Subscript[g2, a b])(Subscript[η2, c])(Subscript[η2, d])->T2-(Subscript[g2, c d])(Subscript[η2, a])(Subscript[η2, b]),(Subscript[g2, b d]) (Subscript[η2, a]) (Subscript[η2, c])->T3-(Subscript[g2, a d]) (Subscript[η2, b]) (Subscript[η2, c])-(Subscript[g2, b c]) (Subscript[η2, a]) (Subscript[η2, d])-(Subscript[g2, a c]) (Subscript[η2, b]) (Subscript[η2, d]),(Subscript[g2, b c]) (Subscript[g2, a d])->T4-(Subscript[g2, a c]) (Subscript[g2, b d]),(Subscript[g2, a b]) (Subscript[g2, c d])->T5}

NK2=NK/.trule//Expand

C1=Coefficient[NK2,T1]
C2=Coefficient[NK2,T2]
C3=Coefficient[NK2,T3]
C4=Coefficient[NK2,T4]
C5=Coefficient[NK2,T5]

C2=-1/(24*Pi^4*α^2*τ2^6)

C1+4C2-4C3//Expand
C2+2C4+4C5//Expand
C1+2C2-4C3+2C4+C5//Expand

D[(f[x]*f[y]-1)/(f[x]-f[y])^2,x]

A=Series[Coth[τ2/α]/α,{τ2,0,2}]//Normal
B=Series[-Csch[τ2/α]/α,{τ2,0,2}]//Normal